基于参数灵敏度的轴对称结构有限元模型修正方法

 

摘要：

工程中广泛存在的轴对称结构,如各种发动机、机械中的转子等，由于重根的存在导致了模态振型具有一定的特殊性。因此，对应于轴对称结构的模型修正需要作某些特殊处理。首先，阐述了基于设计参数型灵敏度分析的有限元模型修正理论和模态参数灵敏度矩阵及残差项的计算方法；其次，在传统模态振型相关分析的基础上，提出了针对轴对称结构模态相关性分析的计算方法；最后，采用圆盘结构验证了所提方法的有效性和可靠性。

 

---

 

在土木、航空、航天、汽车、船舶等工程领域中，有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)是结构设计过程中必不可少的步骤。准确的有限元模型对于预测结构的荷载效应是至关重要的。然而，要想建立一个与实际结构相一致的有限元模型，仅凭工程师的经验几乎是不可能的。众多的不确定性因素以及多种假设的引入，使得有限元模型必然存在误差，例如边界条件的误差、结构连接条件失真、物理参数的误差、局部或整体的非线性的误差、实际工作状态和分析所假设的状态不一致、单元类型的选择和单元的划分不适当等，使得有限元分析结果不可能完全真实地反映结构特性。

 

结构的试验模态分析(Experimental Modal Analysis, EMA)是建立在实际结构测试数据的基础上，避免了许多理论分析中的简化。特别是二十世纪六十年代以来，试验模态分析技术取得了很大进步，高速计算机和快速傅立叶算法的出现使得试验数据处理技术呈现崭新的面貌，模态测试精度大幅度提高。同有限元分析结果相比，试验模态分析结果具有较高的可信度。因此我们可以结合有限元分析技术与试验模态分析技术各自的长处，利用有限元分析建立结构初始分析模型，再利用试验模态参数来修正，从而获得高精度的有限元模型，为结构响应预测、动力修改、优化设计、可靠性分析、破损监测与故障诊断等工程应用服务。这就是有限元模型修正技术，也称为理论-试验联合建模技术。

 

有限元模型修正方法包括灵敏度分析法、粒子群算法、神经网络算法等，其中，灵敏度分析法相比于其他具有随机性的算法更加高效合理。

 

不同模型之间的振型相关分析是模型修正技术中必不可少的一环，且可以为工程技术人员判断试验分析的好坏、初始有限元模型的优劣、传感器位置优化提供依据。对一般的结构，直接按照MAC的定义分析即可。而对于工程中广泛存在的轴对称结构，如各种发动机、机械中的转子等，由于重根的存在导致了模态振型具有一定的特殊性，因此对应于轴对称结构的相关分析需要作某些特殊处理。

 

本文首先阐述了基于设计参数型灵敏度分析的有限元模型修正理论和模态参数灵敏度矩阵及残差项的计算方法；其次介绍了一种惯性参数识别算法用于求解轴对称结构转动主轴；然后在传统模态振型相关分析的基础上，采用围绕对称轴旋转迭代的方式进行模态相关性分析的计算方法和模型修正；最后，采用圆盘结构算例验证了所提方法的有效性和可靠性。

 

1 理论基础

 

1.1 模型修正理论

在模型修正中，待修正参数是在模型的设计参数中选取的，可以是材料属性，几何参数或边界条件等。当改变原始模型的待修正参数p=(p₁,p₂,...,p_n)时，模型的模态参数、模态置信准则(Modal Assurance Criterion, MAC)，用于检查两阶模态之间的相互独立性和一致性、质量或刚度矩阵等修正对象f会随之改变。因此可以将修正对象f视为待修正参数p的函数，记作f(p)。为了将问题线性化，在初始位置处，将f(p)进行一阶泰勒展开：

        

        (1)

 

上式中，∆p为待修正参数的变化量，p₀为待修正参数的初始值。则，对于m个修正对象，n个待修正参数得到的灵敏度矩阵为

        

        (2)

 

将公式（2）代入公式（1）得：

        

        (3)

 

模型修正的目标是使修正对象与试验结果的误差达到最小，同时待修正参数仍具有物理意义，需要给定待修正参数合理的取值范围，并取误差函数的二范数值即Min(||∆E||²)为目标值。其中误差函数为

        

        (4)

 

其中，f_s(p)和f_t(p)分别为修正对象的有限元仿真值和试验值，p_min和p_max分别为待修正参数取值范围的最小值和最大值。利用Lagrange乘数法(Lagrange Multiplier Method, LMM)联立公式（3）和公式（4），得：

        

        (5)

 

进而，设计参数的变化量可表示为

        

        (6)

 

式中上标+表示广义逆。然而，即使采用广义逆算法，待修正参数的类型不同时，其大小的数量级波动较大，使灵敏度矩阵极易出现病态，所以灵敏度矩阵的元素需要先进行归一化处理。本文采用一种归一化的方式如下：

        

        (7)

 

此外，为了使迭代计算更加高效准确，分别对待修正参数的变化量和修正对象的误差∆E进行加权处理，目标函数变为

        

        (8)

 

式中，W_p和W_e分别为变化量∆p和修正对象的误差∆E的加权项，λ²为加权系数。本文以模态频率和模态振型MAC值为修正对象，加权系数矩阵W_e可表示如下：

        

        (9)

 

式中，W_f为频率加权系数对角矩阵，W_MAC为模态振型MAC值得加权系数对角阵。公式（8）中W_p可表示为

        

        (10)

 

式中。

 

对公式（8）中的变化量∆p求偏导，以求目标函数的极小值，解得：

        

        (11)

当待修正参数灵敏度不高的数量越多或S^TW_eS条件数越大时，要求λ²取值越大。通过上式求得第k次变化量∆p_k修正新的待修正参数：

        

        (12)

 

1.2 转动主轴

质量线法(Inertia Restrain Method, IRM)将质量作为已知参数，求结构的质心和转动主轴。IRM法计算公式为

        

        (13)

 

式中，、、分别为三个平动自由度上的加速度响应，、、分别为三个转动自由度上的角加速度，(x_c、y_c、z_c)为质心坐标，f_x、f_y、f_z分别为三个平动自由度上的激励力，M_x、M_y、M_z分别为三个方向上弯矩，J_xxo、J_yyo、J_zzo分别三个方向上的转动惯量，J_xyo、J_yzo、J_zxo分别三个的惯性积，m为结构的质量。

 

考虑到质心与转动惯量相互独立性，可首先识别出质心坐标：

        

        (14)

 

将上式反代入公式（13），识别出转动惯量和惯性积：

        

        (15)

 

应用平行轴定理将上式求得的转动惯量和惯性积转化到对质心所在坐标轴的转动惯量和惯性积，然后将其组成惯性张量矩阵：

        

        (16)

 

对公式（16）组成的矩阵进行特征分解，解得其特征值与特征向量即为主动惯量和桑格惯性主轴关于固定坐标系坐标轴夹角的方向余弦值。

 

在模态匹配过程中，将每阶试验模态振型围绕转动主轴迭代改变旋转角度，直至找到该阶模态的试验-有限元振型的最大MAC并记录下当前角度，完成该阶模态的匹配。

 

2 圆盘结构模态试验

 

2.1 实验过程

半径为240mm、厚度为3mm、质量为1.47kg的圆盘采用柔性海绵支撑，在其表面选取37个测点进行的模态测试，测点分布情况如图1所示：

图 1  圆盘测点分布图

 

设置采样频率为2560Hz，采样时长为2秒，采用力锤激励测试圆盘的频率响应函数，典型频响函数的幅频相频曲线如图2所示：

图 2  测得的圆盘频响函数的幅频和相频曲线

 

2.2 试验模态参数

使用汉航NTS.LAB Analysis软件中的IRM惯性参数识别法识别出圆盘结构的垂向转动轴向量为(0.02,-0.017,6.835)。采用软件中的polyLSCF模态识别算法对圆盘结构的试验数据，识别出结构模态频率前8阶模态频率如表1所示，模态振型如图3所示。

 

 

图 3  圆盘结构的试验模态振型

 

由试验模态频率可以看出，由于结构的对称性，圆盘存在多阶重频模态对，这些重频模态对在图3中所示的振型上的差别仅为按转动主轴转动了一个角度。

 

3 模型修正

 

3.1 模态相关性

以六面体单元建立圆盘结构有限元模型，共划分单元1285个，节点数为9313个，网格图如图4所示：

图 4  圆盘有限元网格模型

 

图 5 汉航NTS.LAB Link模态相关性分析软件界面

 

有限元计算出的模态需要与试验识别出的模态结果进行相关度分析，频率误差和模态振型误差是两个重要的相关度的评价指标，其中，频率误差通常采用频率相对误差，模态振型误差通常采用MAC值来评判，当MAC值为1时，代表振型完全一致，当MAC值为0时代表两个完全不同的振型。设模态匹配的最大频率相对误差为10%，最小MAC值为0.75，在不考虑轴对称的情况下，有限元模态与试验模态相关程度如表2所示。若考虑轴对称特性，并以识别出的转动主轴(0.02,-0.017,6.835)为对称旋转轴进行旋转迭代匹配，配对结果如表3所示。两种匹配方式MAC矩阵如图6所示。

 

 

图 6 模态配对结果的振型MAC图

 

3.2 模型修正

结构的密度和刚度对结构的频率影响很大，故在修正时，选取材料的密度和弹性模量作为待修正系数，并将表3中的围绕旋转主轴的迭代角作为输入参数代入迭代步骤。为了保证在修正模态频率同时，模态振型也有较高的相似度，选取前8阶模态的频率和MAC值作为修正对象，对初始有限元模型进行修正。取,，，则公式（11）的目标函数简化为。设模态频率误差小于2%，MAC值高于0.9，利用1.1节修正理论进行6次迭代修正，模态频率误差和MAC值在修正变化如图7所示。修正后的模态频率和MAC值如表4。

 

 

图 7  前八阶频率相对误差和MAC收敛图

 

 

 

由表4可知，采用仅修正模态频率的方法修正后，前8阶模态频率的最大误差为1.93％，MAC值最小值为0.91，满足修正精度要求。与此同时，只要考虑对称轴旋转角度迭代，中心对称结构的MAC值在修正过程变化很小，因此上述修正也可仅选择模态频率为优化对象，依然可以达到修正效果。

 

4 结论

以中心对称的圆盘模态试验数据为基准，基于参数灵敏度分析法对圆盘有限元模型的频率和MAC值参数进行修正，得出如下结论：

 

（1）采用惯性参数识别方法获取中心对称结构的转动主轴，基于转动主轴采用迭代的方式可求得最大试验-有限元模态振型MAC值及其对应的角度，从而消除因几何因素影响，使得中心对称结构有限元和试验振型相关度差的问题。

 

（2）以中心对称的圆盘模态试验数据为基准，采用参数灵敏度分析对圆盘有限元模型的频率和MAC值参数进行修正，验证了本文提出方法的可靠性和有效性。