旋转机械阶次模态分析技术
1 OBMA综述
1.1 OBMA技术的发展
为了在使用OMA方法之前消除谐波的影响，可以通过插值或二次重采样的方法，但是若谐波激励在总激励中占主导地位，该方法并不能完全消除谐波对于模态参数识别的影响。故而衍生出了基于阶次的运行模态分析（Order Based Modal Analysis，OBMA）方法。OBMA方法认为转子升速或降速的过程是一个扫频激励的过程，将阶次跟踪（Order Tracking，OT）技术与传统的运行模态分析方法相结合，利用阶次跟踪技术提取旋转机械在某一阶激励下的幅值和相位随转速上升或下降的变化趋势，进行处理后将其作为伪频响函数，进行模态参数识别。
2006年，Janssens等首次明确提出了基于阶次的运行模态分析方法。首先采用阶次自动检测算法识别实测数据中的重要阶次，然后采用基于时变离散傅里叶变换（Time Variant Discrete Fouier Transform，TVDFT）的阶次跟踪方法提取这些阶次，最后利用模态参数识别算法中的多参考最小二乘复频域法（Poly-reference Least-Squares Complex Frequency-domain method，polyLSCF）进行模态参数识别，并利用该方法处理了汽车在起步过程中的声音数据，为解决旋转机械运行模态分析中存在谐波干扰的问题提供了新的思路。Peeters等采用OBMA方法分析了汽车外壳在发动机升速过程中的振动数据，并与激振台激励的振动数据分析结果进行了对比，证明了该方法的正确性和有效性。2014年，比利时的Di Lorenzo E等在具有多个参考轴转速的风力发电机上进行了振动测试试验，并对得到的振动信号分别进行了OBMA分析和传统的OMA分析，证明OMA方法受到终阶（end-of-order）效应的影响，而OBMA并未受到终阶效应的影响。2015年，Manzato等采用OBMA方法分析了风力发电机在不同扭矩负载下升速和稳速状态时的加速度振动信号。Di Lorenzo等比较了两种阶次跟踪方法TVDFT和基于Vold-Kalman滤波的阶次跟踪（Vold-Kalman Filter Order Tracking，VKF-OT）对于模态参数识别精度的影响，提出VKF-OT方法可与polyLSCF相结合达到较好的模态参数识别效果，并将OBMA方法应用到轴承试验台、汽车、风力发电机轴承箱的模态参数识别中。
1.2 阶次跟踪技术的发展
在旋转机械的振动信号分析中，常用傅里叶变换对稳定转速下的振动信号进行分析。但升降速过程中的振动信号是非平稳信号，若仍采用傅里叶变换，将会出现严重的频率模糊现象，使分析结果出现较大的误差。为了解决这一问题，出现了一种将转速信号与振动信号相结合的阶次跟踪技术。旋转机械每转内发生的振动循环次数称为阶次。目前，常用的的阶次跟踪技术主要有以下几类：
（1）硬件式阶次跟踪
硬件式阶次跟踪通过硬件实现信号的等角度采样。一类是通过转速计控制采样率变化实现等角度采样，一类是通过光电脉冲角度编码盘实现等角度采样。由于硬件式的阶次跟踪设备结构复杂，成本较高，且不适用于转速变化较快的场合，因此目前应用较少。
（2）基于角域重采样的阶次跟踪
1997年，Fyfe等提出了基于角域重采样的阶次跟踪（Angle Domain sampling based-Order Tracking，AD-OT）方法，也称作计算阶次跟踪（Computed Order Tracking，COT），该方法将同步采集的转速脉冲信号与振动信号相结合，通过软件将等时间间隔采样的信号转换为等角度间隔采样的信号。该方法易于实现，是目前应用最广泛的阶次跟踪方法，但其不能对多参考轴的交叉阶次进行解耦。
（3）基于时变离散傅里叶变换的阶次跟踪方法
1997年，Blough J R等提出了基于时变离散傅里叶变换的阶次跟踪方法。该方法通过改进傅里叶变换的核函数实现阶次跟踪，且其在应用正交补偿矩阵（Orthogonality Compensation Matrix，OCM）后，能够实现多参考轴交叉阶次的解耦。
（4）基于Vold-Kalman 滤波的阶次跟踪
1993年，Vold H等在Kalman滤波器的基础上，提出了第一代基于角速度的Vold-Kalman阶次跟踪算法，但是只能提取单个阶次分量。1997年，Vold H在第一代算法的基础上进行改进，提出了第二代基于角位移的Vold-Kalman阶次跟踪算法，能够同时提取多个阶次分量，而且能够解耦邻近和交叉阶次。Herlufsen H等对不同阶数和不同带宽的Vold-Kalman滤波器的时域特性和频域特性进行了深入研究。Tuma J对不同阶数的Vold-Kalman滤波器的加权因子的取值进行了详细研究，给出了加权因子与带宽之间的函数关系式。Vold提出的VKF-OT方法在运算过程中需要进行大量的矩阵运算，运算量较大，通常只能进行离线分析，台湾国立中央大学的Pan M C团队对VKF-OT理论及滤波器特性等进行了相当深入的研究，在细节上全面阐述了基于角速度和基于角位移的两种VKF-OT方法，并对其进行了改进，实现了在线分析。赵晓平等将瞬时频率估计算法与VKF-OT相结合，实现了无转速计的阶次跟踪。傅炜娜将基于能量中心校正法的转速曲线计算方法与VKF-OT结合实现无转速计的阶次跟踪。Blough J R等对以上多种阶次跟踪方法的原理和优缺点进行了梳理，并对未来阶次跟踪技术的发展和应用进行了展望。
除以上几种阶次跟踪方法之外，还有基于Gabor时频变换的阶次分量提取、最小二乘自适应滤波等方法。
2 阶次跟踪理论
2.1 基于角域重采样的阶次跟踪
基于角域重采样的阶次跟踪方法要求以恒定采样率同步采集转速脉冲信号和振动信号。转速脉冲信号主要有三个作用：一是计算转子系统的转速，二是作为振动信号的等角度划分基准，计算等角度采样点的时间序列，三是根据计算得到的转速设置数字滤波器的截止频率。
基于角域重采样的阶次跟踪方法首先将等时间间隔采样的振动信号重采样成为等角度间隔采样的信号，将重采样后的信号划分为若干个数据块，然后对数据块内的信号进行FFT，获得不同转速下的阶次谱，将阶次谱以阶次为X轴，以转速为Y轴，以幅值为Z轴进行排列，获得阶次谱瀑布图，之后即可提取相应的阶次。
首先以较高的采样率等时间间隔采集时域信号，理论上，时域的采样率可以通过式(1)确定：
（1）
其中rmax表示最高转速，单位rpm，Omax为最高分析阶次。在实际的工程应用中，通常会以较高的采样率采集信号，然后在信号处理时采用低通滤波器，滤除高频成分。
2.1.1 重采样技术
重采样的目的是将等时间间隔采样的信号变为等角度间隔采样的信号，角度间隔Δθ由最高分析阶次Omax决定，角域信号的分析与时域信号一样需要避免混叠问题，依然需要满足采样定律。为了避免出现阶次混叠，角度间隔必须满足：
（2）
转子的角位移θ(t)是一个关于时间的函数，将其通过Taylor级数展开，得到二次多项式的近似：
（3）
上式中含有3个未知量，需要至少3个方程才可解出。由转速脉冲传感器发出的脉冲能够确定某一时刻转子转角的精确位置。取三次转速脉冲发出的时间及其对应的转角位置，可以得到式方程组：
（4）
根据两个转速脉冲之间是等角度间隔Δϕ，求解上述方程，得到系数b0、b1、b2，如下式所示：
（5）
如果转子每转过一转，转速脉冲传感器仅发出一个脉冲，那么Δϕ=2π，同理，如果转速传感器在一转内发出m个脉冲，Δϕ=2π/m。求得系数b0、b1、b2之后，求解二次方程(3)即可得到(0~4π/m)内任意转角θ所对应的时刻：
（6）
在实际计算过程中，为了避免重复重采样，通常令：
（7）
在确定重采样时刻的过程中，发现角域采样点与时域采样点并不重合，如图1所示，红色竖线表示转速传感器的脉冲上升沿位置，蓝色“*”表示原时域采样点，紫色“•”表示重采样后的角域采样点。因此需要先确定角域重采样点对应的时刻，然后通过插值的方法确定这一时刻对应的信号值。根据所需插值方法和插值精度的不同，可分为线性插值，立方插值，三次样条曲线插值方法。其中，三种插值方法中，三次样条曲线插值具有更高的插值精度。
图 1 等时间采样和等角度采样对比
2.1.2 阶次谱计算
将等时间间隔采样的振动信号重采样成为等角度间隔采样的信号后，将其划分成若干个数据块，每个数据块内仅包含Nrev转以内的振动数据，截断数据的转数Nrev由阶次谱的分辨率决定：
（8）
其中，ΔO是阶次分辨率，为了在之后进行FFT时提高运算速度，一般选择为1/2的整数次幂。
每个数据块内的信号基本可以认为是转子以恒定转速旋转时的振动信号。准确求得数据块所对应的转速是之后进行模态分析的基础。由于采样率的限制等因素，转速脉冲上升沿所对应的时间点不可能完全准确，因此，通过两个转速脉冲的时间差求转子转速，误差较大。为了减小误差，取数据块内的全部脉冲，分别计算相邻两个脉冲间对应的转速，然后对所有转速求平均值以实现误差补偿：
（9）
其中Rb表示数据块内的平均转速，单位rpm，ti表示数据块中第i个转速脉冲上升沿所对应的时刻，单位是s。
与等时间间隔采样的时域信号经过傅里叶变换得到相同频率间隔的频谱线类似，等角度间隔采样的角域信号经过傅里叶变换得到相同阶次间隔的阶次谱线。角域信号的傅里叶变换原理与时域信号的傅里叶变换原理类似。
对每个数据块内的角域信号进行傅里叶变换时，通常需要加上Hanning窗以减小泄漏。得到不同转速下的阶次谱后，将阶次谱以阶次为X轴，以转速为Y轴，以幅值为Z轴进行排列，获得阶次谱瀑布图。
2.2 基于Vold-Kalman 滤波的阶次跟踪
Kalman滤波是时域内的最优滤波器，广泛应用于通信与信号处理、天气预报、地质勘探、故障诊断以及金融等领域。1993年，Vold在Kalman滤波器的基础上，提出了第一代Vold-Kalman阶次跟踪算法，但是只能提取单个阶次分量。1997年，Vold在第一代算法的基础上进行改进，提出了第二代Vold-Kalman阶次跟踪算法，能够同时提取多个阶次分量，而且能够解耦邻近和交叉阶次。其基本原理是构造一个依据转频定义的正弦信号，与实测信号中该频率成分信号进行对比，采用梯度迭代法使两者之间的差别最小。与基于角域重采样的阶次跟踪方法相比，基于Vold-Kalman滤波的阶次跟踪方法在时域上直接进行阶次提取，没有由于时-频变换而导致的泄漏问题，也没有由于海森堡测不准原理导致的不能同时满足较高的时间分辨率与频率分辨率的问题。
2.2.1 状态方程
基于Vold-Kalman滤波的阶次跟踪的原理与Kalman滤波器的原理类似，其基于状态方程（State equation）和观测方程（Observation equation）。阶次是参考轴旋转一周发生的振动循环次数。由旋转运动产生的某个阶次分量可以定义为一个幅值和频率随时间变化的正弦函数，阶次的频率与参考轴的转动频率成线性关系。在转子系统运行过程中，需要跟踪的各阶次分量之和x(n)可以表示为：
(10)
式中k为参考所要提取的阶次，即所要提取的阶次频率是参考轴转频的k倍，xk(n)表示第k个阶次的时域信号，可以写成载波的形式：
(11)
其中，ak(n)为θk(n)的低频幅值调制（复包络），载波θk(n)为
(12)
式中ωo(m)为表示参考轴的角速度，Δt为采样间隔。
ak(n)在局部范围内可以认为是一个低阶的多项式，因此，使用低阶多项式来拟合某个阶次振动信号的幅值变化。该条件可表示为含非齐次项εk(n)的状态方程：
(13)
式中，∇p表示p阶差分算子。对于Kalman滤波器通常只取前三阶，即：
(14)
设采样点数为N，公式(14)展开状态方程写成矩阵形式分别为：
(15)
(16)
(17)
公式(15)、公式(16)和公式(17)分别为一阶、二阶和三阶差分方程的矩阵形式，统一公式为Dak=εk。显然矩阵D为对角带状稀疏矩阵。
2.2.2 观测方程
当Vold-Kalman滤波器提取单个阶次分量，观测方程可写作：
(18)
式中y(n)是实测数据，η(n)中包括非提取阶次分量和测量误差。将观测方程，写作矩阵形式：
(19)
其中
(20)
仅仅使用状态方程和观测方程并不能求解a(n)，因而需要集合采用最小二乘算法补充方程。状态方程中的非齐次项εk(n)的平方和为：
(21)
观测方程中非提取阶次分量和测量误差η(n)的平方和为
(22)
得到综合平方和为
(23)
式中，r为引入的加权因子，用于平衡非齐次项ε(n)与非提取阶次和测量误差η(n)的比例。由最小二乘算法：
(24)
解得：
(25)
在求解过程中引入的加权因子r，对滤波器的跟踪性能有直接的影响。Tuma对加权因子r的选取进行了深入的研究，给出了一阶、二阶、三阶滤波器的加权因子r与滤波带宽之间的函数关系式：
(26)
选取滤波带宽fbw时，既可以选择恒定带宽，也可选择与参考轴转频成比例的相对带宽。
3 测试案例
汉航NTS.LAB测试分析系统中的阶次模态分析模块能对振动信号的转速和阶次进行提取，使用OBMA方法对旋转机械工作状态下的模态进行分析。测试案例使用汉航NTS.LAB的阶次模态分析模块对一块受到旋转机构激励的平板结构进行分析。旋转机构从静止均匀升速到4000rpm过程中，平板结构的振动数据如下图所示：
图2 平板结构的试验模型及其受到旋转机构激励的振动数据
首先读取转速数据，若实测数据为原始Tacho信号而非转速信号，可从Tacho数据中提取转速。本案例使用0.5s~6.5s之间的振动数据进行分析。获得转速后，对振动数据做时频分析，查看结构的频率和阶次特征，根据时频谱来判断需要提取的阶次。在本案例中选取第一阶数据进行振动数据的提取和分析。
图3 阶次数据提取
将提取出的第一阶振动数据作为输入数据进行OMA分析，即可得到剔除谐波干扰的准确模态试验结果：
图4 极点计算结果（最小二乘复频域法）
图5 模态振型结果
4 总结
本文介绍了阶次模态分析方法的发展过程和基本原理，并使用汉航NTS.LAB测试分析系统中的阶次模态分析模块进行了案例分析。实践经验表明，阶次模态分析利用阶次提取技术和OMA方法，能较好地排除谐波干扰，对旋转机械在工作状态下的模态能够进行有效提取。
